TUGAS
MAKALAH
Persoalan nilai dan vector eigen
DI SUSUN OLEH:
KELOMPOK Iii
KHAERUNNISA.
A
FITRIANI ADIL
FITRIANA
FAKULTAS SAINS DAN
TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM
NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR
2011
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT., karena dengan rahmat-Nya maka kami
dapat menyelesaikan makalah ini untuk kepentingan belajar kami.
Kami menyadari
banyak kekurangan dalam makalah ini. Untuk itu kami dengan terbuka selalu
menerima kritik dan saran yang sifatnya membangun dan membantu perbaikan
makalah ini.
Akhirnya tak lupa
kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penyelesaian makalah kami ini,dan semoga makalah ini dapat membantu
pengembangan iptek dalam kehidupan sehari-hari. Amiiin....!!!
Makassar, 29 Mei 2012
Tim penyusun
DAFTAR
ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I : PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
B.
Rumusan
Masalah
BAB II : PEMBAHASAN
A.
Persamaan
Karakteristik
B.
Metode
Jacobi pada Persoalan Nilai Eigen
C.
Metode
Jacobi pada Persoalan Vektor Eigen
BAB III : PENUTUP
A.
Kesimpulan
B.
Saran
BAB I
PENDAHULUAN
A.
LATAR BELAKANG
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena
riil yang dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Pada umumnya
perumusan model matematika ini berupa fungsi. Dalam banyak kasus, tidak semua
model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan
metode analitik, sehingga digunakan metode numerik untuk mencari
penyelesaiannya. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk
memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi
perhitungan atau aritmetik biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) .
Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawab
yang eksak (tepat), tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan
jawab pendekatan yang berbeda dari jawab yang eksak sebesar suatu nilai yang
merupakan galat dari metode yang digunakan. Namun demikian, hasil perhitungan
dengan metode numerik cukup dapat memberikan solusi pada persoalan yang
dihadapi.
Salah satu penerapan dari metode numerik ini yaitu dalam masalah
nilai eigen dan vektor eigen. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif
yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks.
Cara yang digunakan dalam metode numerik ini termasuk unik karena dalam
penyelesaiannya hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja,
dalam penghitungannya tidak cukup dilakukan sekali tetapi harus dilakukan
berulang-ulang sampai ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan
nilai penyelesaiannya.
Nilai eigen banyak digunakan untuk mendapatkan solusi berbagai
bidang. Karena permasalahan nilai eigen cukup penting kegunaannya, maka
berbagai metode yang digunakan untuk menemukan nilai eigen menjadi penting
untuk dipelajari. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang
digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks,
salah satunya yaitu metode pangkat.
Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen menggunakan metode
pangkat, akan memerlukan proses iterasi yang sangat panjang untuk menemukan
hasil yang mendekati nilai yang sebenarnya. Semakin banyak iterasi yang
dilakukan, maka semakin baik hasil yang diperoleh.
Meskipun metode pangkat bisa digunakan untuk mengaproksimasi nilai
eigen dan vektor eigen dari matriks, akan sulit untuk mengaproksimasi nilai
eigen keseluruhan dari matriks tersebut. Oleh sebab itu, diperlukan metode
deflasi berturut-turut untuk menemukannya.
B.
RUMUSAN
MASALAH
Rumusan
masalah dari makalah ini adalah:
a.
Bagaimana menyelesaikan persoalan
nilai dan vektor eigen?
b.
Bagaimana aplikasi persoalan nilai
dan vektor eigen pada berbagai system fisis yang relevan?
BAB II
PEMBAHASAN
A. PERSAMAAN KARAKTERISTIK
Jika A(nxn),
v adalah sebuah vektor n tak nol yang memenuhi persamaan Av = λv
disebut vektor eigen (eigenvector ) dari A dan λ
disebut nilai eigen (eigenvalue) yang bersesuaian dengan v.
Catatan: ‘Eigen’ (bahasa Jerman) artinya ‘asli’ (‘proper’).
Polinomial karakteristik dari matriks A(nxn),
adalah polinomial p(λ) = det (A - λI). Persamaan
karakteristik dari A adalah p(λ) = 0 atau det (A - λI)
= 0, dengan p adalah polinomial karakteristiknya. Setiap matriks persegi
paling sedikit mempunyai satu nilai eigen di C.
Keadaan eigen merupakan operator Ȃ
yang bekerja pada fungsi ᴪ dan menghasilkan sebuah nilai α. Representasi
matematika hubungan eigen adalah:
Ȃ ᴪ = α ᴪ …………………………………………………(II.1)
Jika
diketahui ada dua keadaan eigen dengan operator yang sama:
Ȃᴪ = α ᴪ
Ȃϕ = b ϕ …………………………………………………(II.2)
Kemudian
dipenuhi kondisi a ≠ b dan ᴪ ≠ ϕ, maka system dikatakan
non-degenerate, sedangkan untuk a = b dan ᴪ = ϕ, maka system dikatakan
degenerate.
Himpunan nilai eigen yang dibangun
dari n fungsi bebas linear dapat dinyatakan dalam
bentuk tensor:
TC = λC …………………………………………………(II.3)
Komponen
nilai eigen pada persamaan (II.3) dapat dituliskan dalam bentuk konfigurasi indeks
j dan k.
……………………(II.4)
Atau
Dengan
memanfaatkan delta Kronecker
δij =
……………………………………………….(II.6)
dan kondisi
basis
bebas linear,
maka persamaan (II.5) dapat dituliskan dalam bentuk baku:
………………………….(II.7)
Dengan
menguraikan indeks j dan k sampai
n maka persamaan (II.7) dapat
dinyatakan dalam bentukmatriks simetri:
………..(II.8)
Persamaan
(II.8) adalah system persamaan linear yang menurut teorema matematikaakan
memiliki solusi non trivial ( C1,
C2, C3, …, Cn
≠ 0) jika dipenuhi syarat:
= 0 …………………………………………………… (II.9)
Persamaan
(II.9) disebut persamaan karakteristik atau lazim dikenal dengan persamaan Hamilton – Cayley yang dapat digunakan
untuk menghitung nilai eigen. Vektor eigen ( C1, C2, C3, …, Cn) diperoleh dengan
mensubstitusi nilai eigen (λ) yang diperoleh pada persamaan (II.8) ke persamaan
(II.9).
Contoh:
Diketahui
tiga buah tensor lengkap dengan komponennya: A = ê1, B = ê2
+ ê3 dan
C = ê1 +
ê2 + ê3. Jika diketahui tensor
T = AA – BC + BA = ê1ê1
+ ê2ê2 + ê2ê3 + ê3ê2
+ ê3ê3
……………………...(II.10)
Penyelesaian:
Persamaan
(II.10) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
Nilai eigen
dihitung dengan persamaan karakter (II.9)
Dari
persamaan (II.12) diketahui nilai eigen: λ =
. Vector eigen dihitung dengan menggunakan persamaan
(II.8) untuk masing-masing nilai eigen.
·
Vector eigen untuk λ1 = 0
Dari persamaan (II.13), diperoleh vector eigen
ternormalisasi untuk λ1 = 0
·
Vector eigen λ2 = 1
Dari persamaan (II.15), diperoleh vector eigen
ternormalisasi untuk λ2 = 1
·
Vector eigen λ3 = 2
·
Dari persamaan (II.17), diperoleh
vector eigen ternormalisasi untuk λ3 = 2
B. METODE JACOBI PADA PERSOALAN NILAI
EIGEN
Metode Jacobi untuk persoalan nilai
eigen adalah metode diagonalisasi matriks dengan memanfaatkan rotasi system
koordinat. Konsep Metode Jacobi dimulai dari matriks 2
2 dan rotasi koordinat 2-dimensi. Misal diketahui
rotasi koordinat 2-dimensi.
x1 =
x1 cos
x2 sin
x2 =
x2 sin
x2 cos
………………………………….(II.19)
persamaan
(II.19) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:
……………………………… (II.20)
Secara umum,
matriks pada persamaan (II.20) dapat dinyatakan sebagai:
x = Tx’
……………………………………………………… (II.21)
matriks T
mempunyai transpose
TT =
…………………………………….... (II.22)
Dari matriks
T persamaan (II.20) dan TT pada persamaan (II.22) dapat dibuktikan
sifat perkalian matriks:
TTT = TTT = I atau TT
= T-1 ………………………………… (II.23)
Matriks
mempunyai sifat seperti pada persamaan (II.23) disebut matriks orthogonal yang akan digunakan pada persamaan eigen.
Persamaan
eigen yang telah ditetapkan sebelumnya dinyatakan dalam notasi yang relevan
dengan persamaan-persamaan pada uraian berikut yang dimulai dari persamaa
(II.24). dengan mengalihkan persamaan eigen dengan matriks T dari kanan, maka
diperoleh:
ȂTx = λTx ………………………………………………. (II.24)
Langkah
selanjutnya, persamaan (II.24) dikali dengan T dari kiri
TTȂTx =λTTTx =
λIx = λx ……………………………………….. (II.25)
Pengertian
matematis dari persamaan (II.25) adalah matriks TTȂT mempunyai
system nilai eigen yang sama dengan matriks A
semula. Missal, dinakan B = TTȂT
adalah transformasi diagonalisasi
yang diinginkan, maka trasnsformasi A
TT
ȂT dinamakan transformasi similiritas matriks A dengan matriks transformasi T. secara detail perkalian matriks B diuraikan dalam bentuk:
B = TT ȂT =
=
…………………………………………………… (II.26)
dengan:
B11 =a11 cos
+ 2a12 sin
cos
+ a22 sin2
B21 =a12( cos2
– sin2
) + (a22
– a11) sin
cos
B22 = a11 sin2
+ 2a12 sin
cos
+ a22 cos2
Tujuan yang
diinginkan adalah matriks B menjadi
matriks diagonal.
B =
………………………………………………………… (II.27)
Persamaan
(II.27) terpenuhi dengan memanfaatkan hubungan pada persamaan (II.26). dari
hubungan tersebut diketahui bahwa matriks B
akan diagonal dengan syarat: B12 =B21 = 0, yaitu:
a12( cos2
– sin2
) + (a22
– a11) sin
cos
= 0 …………................. (II.28)
dari
persamaan (II.28) diperoleh hubungan:
tan 2
=
=
tan-1
…………………………… (II.29)
Nilai eigen
diperoleh dengan mensubtitusikan harga
yang diperoleh
dari persamaan (II.29) ke elemen diagonal matriks B pada persamaan (II.26),
yaitu:
B11 =a11 cos
+ 2a12 sin
cos
+ a22 sin2
B22 = a11 sin2
+ 2a12 sin
cos
+ a22 cos2 ..................................... (II.30)
C. METODE JACOBI PADA PERSOALAN VEKTOR
EIGEN
Metode Jacobi pada persoalan vector
eigen adalah metode normalisasi fungsi eigen dengan memanfaatkan rotasi koordinat
yang digunakan pada persoalan nilai eigen. Misal diketahui nilai eigen λ1
dan vector eigen x1
Ax1
= λ1x1 ………………………………………………………. (II.31)
Persamaan
eigen yang terdiri atas n nilai dan
vector eigen dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
Vector eigen
diuraikan dalam bentuk
Jika
dipenuhi sifat VT = V-1
maka matriks V disebut matriks
diagonal. Nilai eigen dituliskan dalam bentuk:
Jadi
persamaan eigen (II.34) dapat dituliskan dengan notasi:
A
=
A …………………………………………… (II.35)
Dengan
mengalikan persamaan (II.35) dengan V-1
dari kiri untuk kedua ruas, maka didapat:
V-1A
= V-1
=
…………………………………………. (II.36)
Dengan
memanfaatkan sifat ortogonalitas serta menganggap bahwa nilai eigen
diperoleh dari
transformasi similaritas, maka persamaan (II.36) dapat dimodifikasi menjadi:
VT A
= TT AT …………………………………………………….. (II.37)
Berdasarkan
hubungan pada persamaan (II.37) dan sifat transformasi similaritas pada
persamaan sebelumnya maka dapat ditentukan formulauntuk menentukan vector
eigen, yaitu:
V =T1T2T3,
… Tk …………………………………………………… (II.38)
Dengan T adalah transformasi similaritas pada
perrhitungan nilai eigen.
BAB II
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan
λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar
atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen
(nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det(λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa
polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.
Jika A adalah suatu matriks n n dan
λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah
ekuivalen:
a) λ
adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
b) Sistem
persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non trivial).
c) Ada
vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian sehingga Ax = λx. ) λ adalah suatu
penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0
d) Ruang
penyelesaian dari sistem persamaan linear (λ I – A) x = 0 atau (A - λ I) x = 0
dinamakan ruang eigen dari matriks A yang berukuran n.
Nilai eigen pada umumnya memberikan
cara mudah untuk mendapatkan solusi berbagai bidang keilmuan. Nilai eigen
diperlukan untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari,
sehingga bisa dikatakan metode dalam menemukan nilai eigen merupakan salah satu
ilmu pengetahuan yang bisa digunakan untuk membantu mempermudah kehidupan
sehari-hari.
Dalam
bidang fisika, aplikasi nilai eigen antara lain pada kasus struktur
melengkungnya batang (mencari beban kritis pada ujung salah satu batang yang
jika dilampaui menyebabkan batang patah) dan pada campuran (menentukan jumlah
zat dalam suatu pencampuran pada waktu t). Sedangkan dalam bidang
biologi, aplikasi nilai eigen salah satunya untuk mengetahui tingkat pertumbuhan
suatu populasi menurut kelompok umur.
Dengan ditemukannya nilai eigen dan
aplikasinya, banyak permasalahan dalam praktek sehari-hari yang menjadi lebih
mudah. Dengan demikian, metode untuk mencari nilai eigen merupakan ilmu
pengetahuan yang merupakan sarana untuk mencapai kemudahan.
B. SARAN
Penggunaan metode
pangkat masih terbatas pada matriks yang seluruh nilai eigennya adalah bilangan
real. Oleh sebab itu, pemakalah mengharapkan ada penelitian tentang metode
pangkat untuk mencari nilai eigen kompleks.
bleh jga ni mkalah ny.
BalasHapusMb nissa!
Bleh dong mnta softcopy file'y yg berbentuk doc (Ms. Word)???
untuk bhan refrensi sya.
mhon yah!
krim k email sya d dwikar92@gmail.com
thanks berfore.