Jumat, 08 Juni 2012

Persoalan nilai dan vector eigen


TUGAS MAKALAH
Persoalan nilai dan vector eigen


DI SUSUN OLEH:
KELOMPOK Iii


KHAERUNNISA. A
FITRIANI ADIL
FITRIANA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR
2011

KATA PENGANTAR
                 Puji syukur kehadirat Allah SWT., karena dengan rahmat-Nya maka kami dapat menyelesaikan makalah ini untuk kepentingan belajar kami.
                 Kami menyadari banyak kekurangan dalam makalah ini. Untuk itu kami dengan terbuka selalu menerima kritik dan saran yang sifatnya membangun dan membantu perbaikan makalah ini.
                 Akhirnya tak lupa kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian makalah kami ini,dan semoga makalah ini dapat membantu pengembangan iptek dalam kehidupan sehari-hari. Amiiin....!!!

Makassar, 29 Mei 2012

Tim penyusun







DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I :  PENDAHULUAN
A.      Latar Belakang
B.      Rumusan Masalah
BAB II : PEMBAHASAN
A.      Persamaan Karakteristik
B.      Metode Jacobi pada Persoalan Nilai Eigen
C.      Metode Jacobi pada Persoalan Vektor Eigen
BAB III : PENUTUP
A.      Kesimpulan
B.      Saran











BAB I
PENDAHULUAN
A.    LATAR BELAKANG
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena riil yang dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Pada umumnya perumusan model matematika ini berupa fungsi. Dalam banyak kasus, tidak semua model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan metode analitik, sehingga digunakan metode numerik untuk mencari penyelesaiannya. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmetik biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) .
Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya jawab yang eksak (tepat), tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan jawab pendekatan yang berbeda dari jawab yang eksak sebesar suatu nilai yang merupakan galat dari metode yang digunakan. Namun demikian, hasil perhitungan dengan metode numerik cukup dapat memberikan solusi pada persoalan yang dihadapi.
Salah satu penerapan dari metode numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks. Cara yang digunakan dalam metode numerik ini termasuk unik karena dalam penyelesaiannya hanya diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja, dalam penghitungannya tidak cukup dilakukan sekali tetapi harus dilakukan berulang-ulang sampai ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai penyelesaiannya.
Nilai eigen banyak digunakan untuk mendapatkan solusi berbagai bidang. Karena permasalahan nilai eigen cukup penting kegunaannya, maka berbagai metode yang digunakan untuk menemukan nilai eigen menjadi penting untuk dipelajari. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks, salah satunya yaitu metode pangkat.
Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen menggunakan metode pangkat, akan memerlukan proses iterasi yang sangat panjang untuk menemukan hasil yang mendekati nilai yang sebenarnya. Semakin banyak iterasi yang dilakukan, maka semakin baik hasil yang diperoleh.
Meskipun metode pangkat bisa digunakan untuk mengaproksimasi nilai eigen dan vektor eigen dari matriks, akan sulit untuk mengaproksimasi nilai eigen keseluruhan dari matriks tersebut. Oleh sebab itu, diperlukan metode deflasi berturut-turut untuk menemukannya.

B.     RUMUSAN MASALAH
Rumusan masalah dari makalah ini adalah:
a.       Bagaimana menyelesaikan persoalan nilai dan vektor eigen?
b.      Bagaimana aplikasi persoalan nilai dan vektor eigen pada berbagai system fisis yang relevan?

















BAB II
PEMBAHASAN

A.    PERSAMAAN KARAKTERISTIK
Jika A(nxn), v adalah sebuah vektor n tak nol yang memenuhi persamaan Av = λv disebut vektor eigen (eigenvector ) dari A dan λ disebut nilai eigen (eigenvalue) yang bersesuaian dengan v. Catatan: ‘Eigen’ (bahasa Jerman) artinya ‘asli’ (‘proper’).
 Polinomial karakteristik dari matriks A(nxn), adalah polinomial p(λ) = det (A - λI). Persamaan karakteristik dari A adalah p(λ) = 0 atau det (A - λI) = 0, dengan p adalah polinomial karakteristiknya. Setiap matriks persegi paling sedikit mempunyai satu nilai eigen di C.
Keadaan eigen merupakan operator Ȃ yang bekerja pada fungsi ᴪ dan menghasilkan sebuah nilai α. Representasi matematika hubungan eigen adalah:
Ȃ ᴪ = α ᴪ         …………………………………………………(II.1)
Jika diketahui ada dua keadaan eigen dengan operator yang sama:
Ȃᴪ = α ᴪ
Ȃϕ = b ϕ          …………………………………………………(II.2)
Kemudian dipenuhi kondisi a b dan ᴪ ≠ ϕ, maka system dikatakan non-degenerate, sedangkan untuk a = b dan ᴪ = ϕ, maka system dikatakan degenerate.
Himpunan nilai eigen yang dibangun dari n  fungsi bebas linear dapat dinyatakan dalam bentuk tensor:
TC = λC          …………………………………………………(II.3)
Komponen nilai eigen pada persamaan (II.3) dapat dituliskan dalam bentuk konfigurasi indeks j dan k.
     ……………………(II.4)
Atau
Dengan memanfaatkan delta Kronecker
δij  =   ……………………………………………….(II.6)
dan kondisi basis  bebas linear, maka persamaan (II.5) dapat dituliskan dalam bentuk baku:
 ………………………….(II.7)
Dengan menguraikan indeks j dan sampai n maka persamaan (II.7) dapat dinyatakan dalam bentukmatriks simetri:
………..(II.8)
Persamaan (II.8) adalah system persamaan linear yang menurut teorema matematikaakan memiliki solusi non trivial ( C1, C2, C3, …, Cn ≠ 0) jika dipenuhi syarat:
 = 0    …………………………………………………… (II.9)
Persamaan (II.9) disebut persamaan karakteristik atau lazim dikenal dengan persamaan Hamilton – Cayley yang dapat digunakan untuk menghitung nilai eigen. Vektor eigen ( C1, C2, C3, …, Cn) diperoleh dengan mensubstitusi nilai eigen (λ) yang diperoleh pada persamaan (II.8) ke persamaan (II.9).
Contoh:
Diketahui tiga buah tensor lengkap dengan komponennya: A = ê1, B = ê2 + ê3 dan
C = ê1 + ê2 + ê3. Jika diketahui tensor
T = AA – BC + BA = ê1ê1 + ê2ê2 + ê2ê3 + ê3ê2 + ê3ê3  ……………………...(II.10)
Penyelesaian:
Persamaan (II.10) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
 
Nilai eigen dihitung dengan persamaan karakter (II.9)
Dari persamaan (II.12) diketahui nilai eigen: λ = . Vector eigen dihitung dengan menggunakan persamaan (II.8) untuk masing-masing nilai eigen. 
·         Vector eigen untuk λ1 = 0
Dari persamaan (II.13), diperoleh vector eigen ternormalisasi untuk  λ1 = 0
·         Vector eigen λ2 = 1
Dari persamaan (II.15), diperoleh vector eigen ternormalisasi untuk λ2 = 1
·         Vector eigen λ3 = 2
·         Dari persamaan (II.17), diperoleh vector eigen ternormalisasi untuk λ3 = 2




B.     METODE JACOBI PADA PERSOALAN NILAI EIGEN
Metode Jacobi untuk persoalan nilai eigen adalah metode diagonalisasi matriks dengan memanfaatkan rotasi system koordinat. Konsep Metode Jacobi dimulai dari matriks 2 2 dan rotasi koordinat 2-dimensi. Misal diketahui rotasi koordinat 2-dimensi.
x1 = x1 cos x2 sin
x2 = x2 sin x2 cos              ………………………………….(II.19)
persamaan (II.19) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:
      ………………………………   (II.20)
Secara umum, matriks pada persamaan (II.20) dapat dinyatakan sebagai:
x = Tx’     ………………………………………………………  (II.21)
matriks T mempunyai transpose
TT =      ……………………………………....  (II.22)
Dari matriks T persamaan (II.20) dan TT pada persamaan (II.22) dapat dibuktikan sifat perkalian matriks:
TTT = TTT = I atau TT = T-1   …………………………………  (II.23)
Matriks mempunyai sifat seperti pada persamaan (II.23) disebut matriks orthogonal yang akan digunakan pada persamaan eigen.
Persamaan eigen yang telah ditetapkan sebelumnya dinyatakan dalam notasi yang relevan dengan persamaan-persamaan pada uraian berikut yang dimulai dari persamaa (II.24). dengan mengalihkan persamaan eigen dengan matriks T  dari kanan, maka diperoleh:
ȂTx = λTx        ……………………………………………….  (II.24)
Langkah selanjutnya, persamaan (II.24) dikali dengan  T dari kiri
TTȂTx =λTTTx = λIx = λx  ………………………………………..  (II.25)
Pengertian matematis dari persamaan (II.25) adalah matriks TTȂT  mempunyai system nilai eigen yang sama dengan matriks A semula. Missal, dinakan B = TTȂT  adalah transformasi diagonalisasi yang diinginkan, maka trasnsformasi A TT ȂT dinamakan transformasi similiritas matriks A dengan matriks transformasi T. secara detail perkalian matriks B diuraikan dalam bentuk:
B = TT ȂT =
=   ……………………………………………………  (II.26)
dengan:
B11 =a11 cos  + 2a12 sin  cos  + a22 sin2
B21 =a12( cos2  – sin2 ) + (a22 – a11) sin  cos
B22 = a11 sin2  + 2a12 sin  cos  + a22 cos2
Tujuan yang diinginkan adalah matriks B menjadi matriks diagonal.
B =   …………………………………………………………  (II.27)
Persamaan (II.27) terpenuhi dengan memanfaatkan hubungan pada persamaan (II.26). dari hubungan tersebut diketahui bahwa matriks B  akan diagonal dengan syarat: B12 =B21 = 0, yaitu:
a12( cos2  – sin2 ) + (a22 – a11) sin  cos  = 0 ………….................  (II.28)
dari persamaan (II.28) diperoleh hubungan:
tan 2  =     =  tan-1   ……………………………  (II.29)
Nilai eigen diperoleh dengan mensubtitusikan harga  yang diperoleh dari persamaan (II.29) ke elemen diagonal matriks B  pada persamaan (II.26), yaitu:
B11 =a11 cos  + 2a12 sin  cos  + a22 sin2
B22 = a11 sin2  + 2a12 sin  cos  + a22 cos2   .....................................    (II.30)

C.    METODE JACOBI PADA PERSOALAN VEKTOR EIGEN
Metode Jacobi pada persoalan vector eigen adalah metode normalisasi fungsi eigen dengan memanfaatkan rotasi koordinat yang digunakan pada persoalan nilai eigen. Misal diketahui nilai eigen λ1 dan vector eigen x1
Ax1 = λ1x1    ……………………………………………………….  (II.31)
Persamaan eigen yang terdiri atas  n nilai dan vector eigen dapat dinyatakan dalam bentuk matriks


Vector eigen diuraikan dalam bentuk
Jika dipenuhi sifat VT = V-1 maka matriks V disebut matriks diagonal. Nilai eigen dituliskan dalam bentuk:
 
Jadi persamaan eigen (II.34) dapat dituliskan dengan notasi:
A  = A                 ……………………………………………  (II.35)
Dengan mengalikan persamaan (II.35) dengan V-1 dari kiri untuk kedua ruas, maka didapat:
V-1A = V-1  =    ………………………………………….   (II.36)
Dengan memanfaatkan sifat ortogonalitas serta menganggap bahwa nilai eigen  diperoleh dari transformasi similaritas, maka persamaan (II.36) dapat dimodifikasi menjadi:
VT A  = TT AT   …………………………………………………….. (II.37)
Berdasarkan hubungan pada persamaan (II.37) dan sifat transformasi similaritas pada persamaan sebelumnya maka dapat ditentukan formulauntuk menentukan vector eigen, yaitu:
V =T1T2T3, … Tk …………………………………………………… (II.38)
Dengan T adalah transformasi similaritas pada perrhitungan nilai eigen.











BAB II
PENUTUP

A.    KESIMPULAN
Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det(λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.
Jika A adalah suatu matriks n n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen:
a)      λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
b)      Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non trivial).
c)      Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian sehingga Ax = λx. ) λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0
d)     Ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear (λ I – A) x = 0 atau (A - λ I) x = 0 dinamakan ruang eigen dari matriks A yang berukuran n.
Nilai eigen pada umumnya memberikan cara mudah untuk mendapatkan solusi berbagai bidang keilmuan. Nilai eigen diperlukan untuk memecahkan berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari, sehingga bisa dikatakan metode dalam menemukan nilai eigen merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang bisa digunakan untuk membantu mempermudah kehidupan sehari-hari.
Dalam bidang fisika, aplikasi nilai eigen antara lain pada kasus struktur melengkungnya batang (mencari beban kritis pada ujung salah satu batang yang jika dilampaui menyebabkan batang patah) dan pada campuran (menentukan jumlah zat dalam suatu pencampuran pada waktu t). Sedangkan dalam bidang biologi, aplikasi nilai eigen salah satunya untuk mengetahui tingkat pertumbuhan suatu populasi menurut kelompok umur.
Dengan ditemukannya nilai eigen dan aplikasinya, banyak permasalahan dalam praktek sehari-hari yang menjadi lebih mudah. Dengan demikian, metode untuk mencari nilai eigen merupakan ilmu pengetahuan yang merupakan sarana untuk mencapai kemudahan.

B.     SARAN
Penggunaan metode pangkat masih terbatas pada matriks yang seluruh nilai eigennya adalah bilangan real. Oleh sebab itu, pemakalah mengharapkan ada penelitian tentang metode pangkat untuk mencari nilai eigen kompleks.